Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c过点A（一1，4），其顶点的横坐标为

1

2

，与x轴分别交于B（x₁，0）、C（x₂，0）两点（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）设此抛物线与y轴交于D点，点P是抛物线上的点，若△PBO的面积为△DOC面积的

2

3

倍，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先认真阅读题目要求，画出如下图所示，根据抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，4）列出关系式4=a-b+c；根据抛物线y=ax²+bx+c顶点的横坐标为

1

2

列出关系式-

b

2a

=

1

2

；与x轴分别交于B（x₁，0）、C（x₂，0）两点（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13，那么可得到方程ax²+bx+c=0，因此x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，则利用完全平方式可得

b2

a2

-2×

c

a

=13．联立三式组成方程组，可解得a、b、c的值，则抛物线的解析式即可确定．再将解析式写出顶点式，则顶点坐标E也就确定．
（2）设P的坐标为（m、n）．首先结合图形，求得B、C、D点的坐标．再用n表示出△PBO的面积，并求得△DOC面积的面积，根据两个三角形的面积比，求得n的取值，则m的取值，也就可求出．

解答：解：（1）由题意得

- b 2a = 1 2 4=a-b+c b2 a2 - 2 c a =13

?

b=-a      4=a-b+c  1- 2 c a =13

?

b=-a              ① 4=a-b+c        ② c=-6a          ③

将①②代入②得      a=-1，则b=1，c=6
∴该抛物线的解析式为y=-x²+x+6=-(x-

1

2

)2+

25

4

∴顶点E的坐标为(

1

2

，

25

4

)

（2）抛物线与y轴交点D的横坐标为x=0，则y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0?-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
设P的坐标为（m、n）
S△BOP=

1

2

×2×|n|
S△DOC=

1

2

×3×6=9
又∵S△BOP=

2

3

S△DOC，即

1

2

×2×|n|=

2

3

×9
∴n=6或-6
当n=6时，则6=-m²+m+6，解得m=0或1；
当n=-6时，则-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）该抛物线的解析式为y=-x²+x+6，顶点E的纵坐标为(

1

2

，

25

4

)；
（2）点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．