Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x的函数y=min{ax²-4ax+4a+c，m（x-t）²-1（m＞0）}的图象关于直线x=3对称，试讨论其与动直线交点的个数．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴此抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；


（2）作△ABC的外接圆⊙E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点

为点P₁，点P₁关于x轴的对称点为点P₂，点P₁，点P₂，均为所求的点，如图1所示：

可知圆心E必在AB边的垂直平分线上即抛物线的对称轴直线x=2上，

∵∠AP₁B、∠ACB都是所对的圆周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB，

由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2，

可得圆心E也在BC边的垂直平分线上即直线y=x上，

∴点E的坐标为：E（2，2），

由勾股定理可得出：EA=，

∴EP₁=EA=，

∴点P₁的坐标为：P₁（2，2+），

由对称性得点P₂的坐标为：P₂（2，-2-），

∴符合题意的点P坐标为：P₁（2，2+），P₂（2，-2-）；



（3）如图2，由题意可知，原二次函数的解析式为y=x²-4x+3可得，所求得的函数的解析式为：

由函数图象可知：当y₁=x+n与y=（x-4）²-1有一个交点时，

x+n=（x-4）²-1，

整理得出：x²-x+15-n=0，
则b²-4ac=-4（15-n）=0，
解得：n=-，

∴当时，动直线与函数图象无交点；
当时，动直线与函数图象有唯一的一个交点；

当y₁=x+n与y=（x-2）²-1有一个交点时，

x+n=（x-2）²-1，

整理得出：x²-x+3-n=0，
则b²-4ac=-4（3-n）=0，
解得：n=-，

∴当时，动直线与函数图象有两个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；

当y₁=x+n过点B时，

×3+n=0，

解得：n=-，

∴当时，动直线与函数图象有四个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点．
分析：（1）首先求出抛物线的对称轴，进而根据A点坐标得出B点坐标以及OB长度，利用OB=OC得出C点坐标，即可得出a的值；
（2）作△ABC的外接圆⊙E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点
为点P₁，点P₁关于x轴的对称点为点P₂，点P₁，点P₂，均为所求的点；
（3）由题意可知，原二次函数的解析式为y=x²-4x+3可得，所求得的函数的解析式为：，进而利用图象交点个数与b²-4ac的关系求出n的值．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程根的判别式和圆周角定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．