Question

如图，在□ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．

（1）求证：AB=3FG；
（2）若AB:AC=:，求证：．

Answer 1

见解析.

试题分析：（1）平行四边形的性质、线段中点的定义推知AF:FC＝EF:ED＝1:2．然后由平行线的性质和平行线分线段成比例得得到：FG:CD＝AF:AC＝1:3，所以FG:AB＝1:3，即AB=3FG；
（2）根据已知条件可以设AB＝k，AC＝k，则AE＝k，AF＝k．通过证△AEF∽△ACB，得到对应角∠AEF=∠ACB．然后易证△FDG∽△ADF，所以DF:DA＝DG:DF，即DF²=DG•DA．
试题解析：
证明：（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
又∵E是AB的中点，∴，
∵FG∥AB，∴FG∥CD，∴，
∴，∴AB=3FG．
（2）设AB＝k，AC＝k，
则AE＝k，AF＝k．
∴，，
∴．
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．
∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF．
又∵∠FDG=∠ADF，∴△FDG∽△ADF，
∴，∴.