Question

如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D．

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图)，当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．(不必写解答过程)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意得CM＝BM， 　　∵∠PMC＝∠DMB， 　　∴Rt△PMC≌Rt△DMB　　2分 　　∴DB＝PC， 　　∴DB＝2－m，AD＝4－m　　1分 　　∴点D的坐标为(2，4－m)　　1分 　　(2)分三种情况 　　①若AP＝AD，则4＋m2＝(4－m)2，解得　　2分 　　若PD＝PA　过P作PF⊥AB于点F(如图)， 　　则AF＝FD＝AD＝(4－m) 　　又OP＝AF， 　　∴　　　2分 　　③若PD＝DA， 　　∵△PMC≌△DMB， 　　∴PM＝PD＝AD＝(4－m)， 　　∵PC2＋CM2＝PM2， 　　∴ 　　解得(舍去)　　2分 　　综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或 　　(3)点H所经过的路径长为　　2分