Question

如图甲，直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上，且OA=8，OC=4．一次函数y=-

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x+b的图象（直线l）与矩形的边BC（或OC），AB（或OA）交于E，F．
（1）求证：直线l∥AC；
（2）当直线l与矩形边BC，AB相交时，请用含b的代数式表示BE的长；
（3）如图乙，G为OA的中点，连结GE，GF，问是否存在b的值，使△EFG是等腰三角形？若存在，请求出所有b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=-

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x+4，根据根据两直线平行的有关问题由两一次函数的一次项系数相等可判断直线l∥AC；
（2）根据矩形的性质得到B点坐标为（8，4），E点的纵坐标为4，再把y=4代入y=

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x+b可确定E点坐标，然后计算BE；
（3）作GH⊥BC于H，再用b分别表示HE、AF、BF，则根据勾股定理得到GE²=4b²-48b+160，GF²=b²-8b+32，EF²=5b²-80b+320，然后分类讨论：当GE=GF；GE=EF；EF=GF；分别列出一元二次方程，再解方程求出b的值（b满足4≤b≤8）．

解答：（1）证明：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（8，0）、C（0，4）代入得

8m+n=0 n=4

，解得

m=- 1 2 n=4

，
所以直线AC的解析式为y=-

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x+4，
而直线l的解析式为y=-

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x+b，
所以直线l∥AC；

（2）解：∵四边形OABC为矩形，OA=8，OC=4，
∴B点坐标为（8，4），
∴E点的纵坐标为4，
把y=4代入y=

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x+b得-

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x+b=4，解得x=2b-8，
∴E点坐标为（2b-8，4），
∴BE=8-（2b-8）=-2b+16（4≤b≤8）；

（3）解：存在．
作GH⊥BC于H，如图，
∵G为OA的中点，
∴OG=AG=4，
在Rt△GEH中，GH=4，HE=4-（2b-8）=12-2b，或HE=2b-12，
∴GE²=4²+（12-2b）²=4b²-48b+160，
在Rt△GAF中，GA=4，AF=b-4
∴GF²=4²+（b-4）²=b²-8b+32，
在Rt△BEF中，BF=8-b，BE=8-（2b-8）=16-2b，
∴EF²=（8-b）²+（16-2b）²=5b²-80b+320，
当GE=GF时，4b²-48b+160=b²-8b+32，整理得3b²-40b+128=0，解得b₁=

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，b₂=8；
当GE=EF时，4b²-48b+160=5b²-80b+320，整理得b²-32b+160=0，解得b₁=16+4

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（舍去），b₂=16-4

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；
当GF=EF时，b²-8b+32=5b²-80b+320，整理得b²-18b+72=0，解得b₁=12（舍去），b₂=6；
所以b为

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或6或8或16-4

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时△EFG是等腰三角形．

点评：本题考查了一次函数的综合题：点在一次函数图象上，点的坐标满足其解析式；会运用两一次函数图象平行的性质；熟练运用矩形的性质、勾股定理和分类讨论的思想，同时会解一元二次方程．