题目内容

已知
x
a
+
y
b
+
z
c
=0，
a
x
+
b
y
+
c
z
=0，求
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
的值．
分析：由于已知所给的两个式子互为倒数，所以考虑设
x
a
=u，
y
b
=v，
z
c
=w，对已知的条件化简，并对②通分，可得vw+uw+uv=0，再利用公式（u+v+w）2=u2+v2+w2+2（uv+wv+uw），把①和vw+uw+uv=0代入公式即可求
u2+v2+w2=0，即
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=0．
解答：解：令
x
a
=u，
y
b
=v，
z
c
=w，于是有
u+v+w=0，①
1
u
+
1
v
+
1
w
=0②，
由②有，
vw+uw+uv
uvw
=0，
∵u、v、w都不为0，
∴vw+uw+uv=0，
把①两边平方得
u2+v2+w2+2（uv+vw+wu）=0，
∴u2+v2+w2=0，
即
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=0．
点评：本题主要利用了字母重设法，化简已知等式，并利用了公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）．
练习册系列答案
相关题目
已知：
x
a-b
=
y
b-c
=
z
c-a
，求证x+y+z=0．
证明以下各式：
（1）若abc=1，则
1
ab+a+1
+
1
bc+b+1
+
1
ac+c+1
=1
（2）若a+b+c=0，则
1
a2+b2-c2
+
1
b2+c2-a2
+
1
c2+a2-b2
=0
（3）已知：
x
a
+
y
b
+
z
c
=1且
a
x
+
b
y
+
c
z
=0，求证：
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求证：
a
1+a
+
b
1+b
+
c
1+c
=1．
阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知
x
a-b
=
y
b-c
=
z
c-a
（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设
x
a-b
=
y
b-c
=
z
c-a
=k，则x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a），
∴x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=k•0=0，∴x+y+z=0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：
y+z
x
=
z+x
y
=
x+y
z
，其中x+y+z≠0，求
x+y-z
x+y+z
的值．
已知
x
a-b
=
y
b-c
=
z
c-a
，求x+y+z的值．

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