Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于两点（在左边），且过点，顶点为，直线交轴于点．

（1）求的值；

（2）以为直径画⊙P，问：点在⊙P上吗，为什么？

（3）直线与⊙P存在怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）将D（5，-3）代入解析式即可求出a的值；
（2）求出⊙P的半径，计算出PD的长，与半径比较即可判断点D是否在⊙P上；
（3）由于MD经过半径的外端，通过勾股定理的逆定理判断出∠PDF=90°即可直线MD与⊙P相切．

解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1）2-，得：a=．
（2）y=（x-1）2-，令y=0，得：x1=-4，x2=6，
∴A（-4，0），B（6，0），∴AB=10．
∵AB为⊙P的直径，∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5，
过点D作DE⊥x轴于点E，则E（5，0）．
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD==5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．

（3）设直线MD的函数解析式为：y=kx+b（k≠0）
把M（1，-），D（5，-3）代入
得：，∴，
∴直线MD的函数解析式为：y=x-．
设直线MD与x轴交于点F，
令y=0则0=x-，得x=．
∴F（，0），
∴EF=-5=，
∴DF2=EF2+DE2=，
PF2=（OF-OP）2=（-1）2=，
DP2=25，
∴DP2+DF2=PF2
∴FD⊥DP，
又∵点D在⊙P上，
∴直线MD与⊙P相切．

“点睛”此题是一道结论开放性题目，考查了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，通过函数解析式求出相应点的坐标及线段的长，是解答此题的必要环节．