Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，BC=a．直线l₁是AB的中垂线交BC于B₁，过B₁作B₁A平行于AB交AC于A₁，再作B₁A₁的中垂线交BC于B₂，过B₂作B₂A₂平行于AB交AC于A₂，作B₂A₂的中垂线BC于B₃，如此下去到B_n，则B_n-1B_n=

2n-1

3n

a

．

Answer 1

分析：过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=

1

2

BC，根据三角形的内角和定理求出∠B=30°，然后求出AB、BB₁，同理求出B₁B₂、B₂B₃，然后根据规律写出B_n-1B_n即可．

解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，BC=a，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

a，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠B=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴AB=BD÷

3

2

=

1

2

a÷

3

2

=

3

3

a，
∵直线l₁是AB的中垂线交BC于B₁，
∴BB₁=

1

2

AB÷

3

2

=（

1

2

×

3

3

a）÷

3

2

=

1

3

a，
同理可求，B₁B₂=

1

3

（a-

1

3

a）=

2

9

a，
B₂B₃=

1

3

（a-

1

3

a-

2

9

a）=

4

27

a=

22

33

a，
…，
依此类推，B_n-1B_n=

2n-1

3n

a．
故答案为：

2n-1

3n

a．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形，根据计算结果观察出数字变化规律是解题的关键．