Question

如图是五角星，已知AC=a，求五角星外接圆的直径（结果用含三角函数的式子表示）．

Answer 1

分析：连AO，并延长交圆O于点F，连接CF．根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ACF．根据锐角三角函数进行求解．

解答：解：连AO，并延长交圆O于点F，连接CF，
则∠ACF=90°；
∵A，B，C，D，E是圆O的五等分点．
∴∠CAD=∠DBE=∠ACE=∠ADB=∠BEC，
又∠CAD+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠BEC=180°，
∴∠CAD=

1

5

×180°=36°，
∴∠CAF=

1

2

∠CAD=18°，
在Rt△ACF中，AC=a，
∴AF=

AC

cos∠CAF

=

a

cos18°

．

点评：综合运用了圆周角定理的推论和正五边形的性质．熟练运用锐角三角函数进行求解．