Question

已知关于x的一元二次方程x2-x+

1

4

m=0有两个实数根．
（1）若m为正整数，求此方程的根．
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b²+2b+1，求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围后，再取正整数；
（2）由根与系数的关系可得ab=

1

4

m，把b代入方程得b2-b+

1

4

m=0．∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1=

1

4

m-2(-

1

4

m)+1=

3

4

m+1．再由m的取值范围确定y的取值范围．

解答：解：（1）∵一元二次方程x2-x+

1

4

m=0有两个实数根，
∴△=1-4×

1

4

m=1-m≥0，
∴m≤1．
∵m为正整数，
∴m=1，
当m=1时，此方程为x2-x+

1

4

=0，
∴此方程的根为x1=x2=

1

2

．

（2）∵此方程的两个实数根为a、b，
∴ab=

1

4

m，b2-b+

1

4

m=0．
∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1=

1

4

m-2(-

1

4

m)+1=

3

4

m+1．
解法一：∵m=

4

3

（y-1），
又∵m≤1，
∴m=

4

3

（y-1）≤1，
∴y的取值范围为y≤

7

4

．
解法二：
∵m≤1，
∴

3

4

m≤

3

4

，
∴

3

4

m+1≤

7

4

，
∴y的取值范围为y≤

7

4

．

点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．