题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4
3
cm．动点P从点A出发，沿A→D→C的路线以2cm/s的速度向点C运动；动点Q从点C出发，沿C→B的路线以1cm/s的精英家教网速度向点B运动．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ与DC平行？
（2）在整个运动过程中，设△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）与t（s）之间的函数关系式；
（3）当点P运动到DC上时，以P为圆心、PD长为半径作⊙P，以B为圆心、BQ长为半径作⊙B，问：是否存在这样的t，使得⊙P与⊙B相切？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，利用当DP=CQ时，PD与CQ平行，求出即可；
（2）根据当0＜t≤1时，以及当1＜t＜5时，分别求出三角形的底边与高线从而求出即可；
（3）当两圆外切时，以及当两圆内切时，分别求出即可．
解答：精英家教网解：（1）由题意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，
∵AD∥BC，
∴当DP=CQ时，PQ与CD平行，
即2-2t=t，
∴t=
2
3
时，PQ∥CD；

（2）作P1E⊥BC，DH⊥BC，
当0＜t≤1时，
S=
1
2
AB×BQ，
=
1
2
×4
3
×（BC-QC），
=
1
2
×4
3
×（6-t），
=-2
3
t+12
3
，
∵AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4
3
cm．
∴CH=6-2=4，
∴CD=
DH2+CH2
=8；
∵P1E⊥BC，DH⊥BC，
∴P1E∥DE，
∴
P 1C
DC
=
P1E
DH
，
∴
8-2(t-1)
8
=
P1E
4
3
，
∴P1E=5
3
-
3
t，
BQ=6-t，
当1＜t＜5时，
S=
1
2
BQ×P1E=
3
2
t2-
11
2
3
t+15
3
．
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（3）当两圆内切时，连接BP，BP必经过切点M，
DP=2t-2，CP=8-（2t-2）=10-2t，BM=BQ=6-t，
∵
NC
CD
=
1
2
，
∴
HC
PC
=
1
2
，
∴CH=5-t，
∴PH=5
3
-
3
t，
∴BH=6-（5-t）=1+t，
∴BP=MP-MB=DP-MB=2t-2-（6-t）=3t-8，
∴BP2=PH2+BH2，
∴（3t-8）2=（5
3
-
3
t）2+（1+t）2，
解得t=
10+4
10
5
或t=
10-4
10
5
（不合题意舍去），精英家教网
当两圆外切时，过P1作P1M⊥AB，
∴BR+P1R=BQ+DP1=6-t+2t-2=t+4，BM=5
3
-
3
t，P1M=t+1，
则有BP12=P1M2+BM2，即（4+t）2=（5
3
-
3
t）2+（t+1）2，
整理得：t2-12t+20=0，
解得：t=2或t=10（舍去），
∴当t=2时，⊙P与⊙B外切，当t=
10+4
10
5
时，⊙P与⊙B内切．
点评：此题主要考查了两圆相切的性质以及三角形面积求法，根据已知作出正确图形利用相切两圆的性质得出是解决问题的关键
练习册系列答案
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20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm．（结果精确到0.1cm）
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（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．
（1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
（1）求证：BN=EN；
（2）求证：4DH•HC=AB•BF；
（3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．
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（1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
（3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．
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