Question

26、学完第2章“特殊的三角形”后，老师布置了一道思考题：
如图，点M、N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由．
（2）判断∠BQM是否会等于60°，并说明理由．

（3）若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，利用SAS可以证明；
（2）根据两个三角形全等，对应角相等可得∠CBN=∠BAM，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；
（3）和（1）同样的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性质求∠BQM=60°．

解答：解：（1）全等，理由：
∵AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠CBN=∠BAM，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；

（3）同（1）可证△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠M=∠N，
∵∠QAN=∠CAM，∠BQM=∠M+∠QAN，∠ACB=∠N+∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，综合利用了三角形外角的性质，难度中等．