Question

（2013•宁德质检）如图，已知矩形ABCD，动点E从点B沿线段BC向点C运动，连结AE、DE，以AE为边作矩形AG，使边FG过点D．
（1 ）求证：△ABE∽△AGD；
（2）求证：矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等；
（3）当AB=2

3

，BC=6时，
①求BE为何值时，△AED为等腰三角形？
②直接写出点E从点B运动到点C时，点G所经过的路径长．

Answer 1

分析：（1）易证∠B=∠G，∠BAE=∠DAG，以及有两个角对应相等的三角形形似即可证得；
（2）依据相似三角形的性质可以的到AB•AD=AG•AE，即可证得；
（3）①分AE=AD，AE=ED，AD=ED三种情况进行讨论，以及勾股定理和三线合一定理即可求得；
②G经过的路线是：以AD的中点为圆心，半径是3，圆心角是120°的弧，依据弧长的计算公式即可求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，
又∵∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE∽△AGD；

（2）证明：∵△ABE∽△AGD，
∴

AB

AG

=

AE

AD

，
∴AB•AD=AG•AE，
∴矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等；

（3）解：①若△AED是等腰三角形，有一下三种情况．
当AE=AD=6时，AB²+BE²=AE²，
即（2

3

）²+BE²=6²，解得：BE=2

6

；
当AE=ED时，BE=

1

2

AD=

1

2

BC=3；
当AD=ED=6时，同第一种情况可得：EC=2

6

，则BE=6-2

6

；
综上所述，当BE=2

6

或3或6-2

6

时，△AED是等腰三角形；
②点G经过的路线是：以AD的中点为圆心，半径是3，圆心角是120°的弧，则路线长是：

120π×3

180

=2π．

点评：本题是矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及弧长的公式，圆周角定理的综合应用，理解定理是关键．