Question

（2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm²）．
（1）当t=1s时，求S的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积S=

1

4

S△PQR？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，AQ=QM=1，QB=3，BR=5，由tan∠PRQ=

PQ

QR

就可以求出BN的值，就根据梯形面积公式就可以求出S的值；
（2）根据梯形的面积公式=

(PM+BN)QB

2

就可以表示出S的值；
（3）用（2）的结论S与t的函数关系式与S△PQR的值相等建立方程求出其解即可；
（4）根据平行四边形的判定方法当PM=BN时，求出其t的值就可以求出结论．

解答：解：（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，
∴MP=QB=4-1=3．
∵QR=8，
∴BR=8-3=5．
∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，
∴tan∠PRQ=

PQ

QR

=

1

2

．
∴

BN

BR

=

1

2

，
∴

BN

5

=

1

2

，
∴BN=2.5．
S_{四边形PMBN}=

(3+2.5)×3

2

=

33

4

（0≤t≤4）；

（2）由题意，得
AQ=MQ=t，PM=BQ=4-t，BR=8-（4-t）=4+t，
∴BN=2+

1

2

t，
∴S_{四边形PMBN}=

(4-t+2+ 1 2 t)(4-t)

2

，
=

1

4

t²-4t+12；

（3）由题意，得

1

4

t²-4t+12=

1

4

×4×8，
解得：t₁=8+4

2

（舍去），t₂=8-4

2

，
∴t的值为4+

2

；

（4）∵四边形PMBN是平行四边形，
∴PM=BN．
∵PM=4-t，BN=2+

1

2

t，
∴4-t=2+

1

2

t，
∴t=

4

3

∴t=

4

3

时，四边形PMBN为平行四边形．

点评：本题是一道动点问题的综合题，考查了梯形的面积公式的运用，三角函数的正切值的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用梯形的面积公式建立等量关系式解答本题的关键．