Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解； 　　(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积； 　　(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可． 　　解答：解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝＝，∴点E(0，2)． 　　设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝． 　　∴直线AC的函数解析式为y＝． 　　(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝， 　　设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，∴，得t＝2， 　　故EG＝6，OG＝10， 　　∴S△OEG＝． 　　(3)存在． 　　①当点Q在AC上时，点Q即为点G， 　　如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 　　由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时， 　　y＝－＝， 　　∴点P1(10，)． 　　②当点Q在AB上时， 　　如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2， 　　过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a， 　　则BH＝QH＝14－a， 　　在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100， 　　解得：a1＝6，a2＝8， 　　∴Q(－6，8)或Q(－8，6)． 　　连接QF交OP2于点M． 　　当Q(－6，8)时，则点M(2，4)． 　　当Q(－8，6)时，则点M(1，3)． 　　设直线OP2的解析式为y＝kx，则 　　2k＝4，k＝2． 　　∴y＝2x． 　　解方程组，得． 　　∴P2()； 　　当Q(－8，6)时，则点M(1，3)． 　　同理可求P2′()． 　　综上所述，满足条件的P点坐标为(10，)或()或()． 　　点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．

提示：

一次函数综合题．