题目内容

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l₂上的点P与l₁上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l₂上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点C'的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．

（2）∵P与P'始终关于x轴对称，
∴PP'与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得 $\text{[math]}$ ．
当m²-6m+5=-2时，解得 $\text{[math]}$ ．
∴当点P运动到 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ，以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形．

（3）满足条件的点M不存在．
理由如下：若存在满足条件的点M在l₂上，
则∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴ $\text{[math]}$ ．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，OE=4．
∴点M的坐标为 $\text{[math]}$ ．
但是，当x=4时， $\text{[math]}$ ．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
分析：（1）根据题意得出C'的坐标为（3，-4），利用顶点式求出l₂的函数关系式即可；
（2）由P与P'始终关于x轴对称，得出PP'与y轴平行，即可得出P的横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
进而求出m的值，即可得出P点的坐标，得出以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形；
（3）假设存在满足条件的点M在l₂上，即可得出点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，再利用当x=4时y的值进行比较得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数图象关于x轴对称的性质以及顶点式求二次函数解析式以及平行四边形的性质和判定等知识，二次函数这部分经常利用数形结合以及分类讨论思想相结合，综合性较强注意不要漏解．