Question

3．（1）证明：“三角形内角和是180°”；
（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质、平角的定义证明；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明．

解答 证明：（1）已知：△ABC，
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即知三角形内角和等于180°；
（2）“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题．
已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查的是命题与定理的真假判断，掌握平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．