Question

如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H．

①图中有       对相似三角形.

②若正方形的边长为1，P为AB的三等分点，求△BHQ的面积.

③求证：DH⊥HQ．

 

Answer 1

①4   ………2分

 ②作,

∵正方形的边长为1，P为AB的三等分点

∴

在Rt△PBC中，由勾股定理得

在Rt△BHC中，由勾股定理得

∴△BHQ的面积………8分

③证明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，∴∠PBC=∠PHB=90°，

∴∠PBH=∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，

∴

由已知，BP=BQ，BC=DC，∴∴

∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，∴∠HBQ=∠HCD．

在△HBQ与△HCD中，∵,∠HBQ=∠HCD，

∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ=∠DHC，

∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．

又∵∠BHQ+∠QHC=90°，

∴∠QHD=∠QHC+∠DHC=90°，

即DH⊥HQ．………14分