Question

观察下列各式，总结规律：

1 2 - 1 3

=

1

2

2 3

，

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1

3

3 8

，

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1

4

4 15

…
（1）把上述规律用含n（正整数）的等式表示为：

 

．
（2）计算：

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

 

．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：（1）根据规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后面两个的差，结果等于中间的一个乘以第二个整数作为分子，平方减1作为分母的算术平方根，然后写出即可；
（2）根据（1）的规律解答．

解答：解：（1）∵

1 2 - 1 3

=

1

2

2 3

，

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1

3

3 8

，

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1

4

4 15

，…
∴含n（正整数）的等式表示为：

1 n ( 1 n+1 - 1 n+2 )

=

1

n+1

n+1 (n+1)2-1

；

（2）

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

1

5

5 52-1

=

1

5

5 24

．
故答案为：

1 n ( 1 n+1 - 1 n+2 )

=

1

n+1

n+1 (n+1)2-1

；

1

5

5 24

．

点评：本题考查了二次根式的性质与化简，观察出三个连续整数的排列顺序与最后结果的关系是解题的关键．