题目内容

如图，在平面坐标系中有一正三角形ABC，A（-8，0）、B（8，0），直线l经过原点O及BC的中点D，另一动直线a平行于y轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线a分别交线段BC、直线l于点E、F，以EF为边向左侧作等边△EFG，设△EFG与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位），当点G落在y轴上时，a停止运动，设直线a的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出：C点坐标，直线l的解析式：．
（2）请用含t的代数式表示线段EF；
（3）求出S关于t的函数关系式及t的取值范围．

解：（1）∵等边△ABC，AC=AB=8+8=16，
∴由勾股定理得：OC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标（0， $\text{[math]}$ ），
设直线l的解析式是y=kx（k≠0），
过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，
∵D为BC的中点，DM∥CO，
∴M为OB的中点，又OC=8 $\text{[math]}$ ，OB=8，
∴DM=4 $\text{[math]}$ ，OM=4，
∴D的坐标为（4，4 $\text{[math]}$ ），
把D点的坐标代入得：k= $\text{[math]}$ ，
直线l的解析式：y= $\text{[math]}$ x，
故答案为：（0，8 $\text{[math]}$ ），y= $\text{[math]}$ x．

（2）解：OP=t，则BP=8-t，
在Rt△OPF中，∠FPO=60°∴PF= $\text{[math]}$ t，
在Rt△EPB中，∠PBE=60°∴EP= $\text{[math]}$ （8-t），
∴EF=EP-FP= $\text{[math]}$ （8-t）- $\text{[math]}$ t=8 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t，
答：用含t的代数式表示线段EF为：8 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t．

（3）解：当EF在y轴时，t=0；
当G落在y轴时，a停止运动，此时t=3
∴t的取值范围是：0≤t≤3，
当G落在AC边上时，t=2，
当0≤t＜2时，重叠部分为四边形，S=-3 $\text{[math]}$ t²+24 $\text{[math]}$ ，
当2≤t≤3时，重叠部分就是三角形GEF，S=S_△GEF=3 $\text{[math]}$ （4-t）²．
答：S关于t的函数关系式是S=-3 $\text{[math]}$ t²+24 $\text{[math]}$ 或S=3 $\text{[math]}$ （4-t）²，t的取值范围是0≤t≤3．
分析：（1）由勾股定理求出OC，得到C的坐标，根据三角形的中位线定理得出D的坐标，设直线l的解析式是y=kx，把D的坐标代入即可求出解析式；
（2）OP=t，则BP=8-t，根据勾股定理求出EP和FP即可求出EF；
（3）当EF在y轴时，t=0；当G落在y轴时，a停止运动，此时t=3即可得到t的范围；当G落在AC边上时，t=2，当0≤t＜2时，重叠部分为四边形，根据三角形的面积公式即可求出S=-3 $\text{[math]}$ t²+24 $\text{[math]}$ ；当2≤t≤3时，重叠部分就是三角形GEF，根据三角形的面积公式即可求出S．
点评：本题主要考查对三角形的面积，一次函数的性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．