Question

如图1，抛物线y=x²-4x+c交x轴于点A和B（-1，0）交y轴于点C，且抛物线的对称轴交x轴于点D
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点E在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）如图2，在抛物线上是否存在这样的点P，使△PAB中的内角中有一边与x轴所夹锐角的正切值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意把点B的坐标代入函数解析式里得出c的值．
（2）连接OE，设四边形ADEF面积为S．令x=0以及y=0求出A、C的坐标．当m=时，S有最大值．求出点E的坐标．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．假设存在P点．利用三角函数求出各线段的等量关系．
解答：解：（1）∵B（-1，0）在y=x²-4x+c上，
∴（-1）²-4（-1）+c
∴c=-5
∴y=x²-4x-5  2分

（2）连接OE，由题意设四边形ADEF面积为S，
E（m，m²-4m-5）（0＜m＜5）3分
∵y=x²-4x-5
∴对称轴为直线x=2
∴D（2，0），DO=2
令x=0，得y=-5，
令y=0，得x₁=-1，x₂=5
∴A（5，0），C（0，-5）
∴AO=CO=5    4分
∴S=S_{四边形AOCE}-S_△COD=S_△COE+S_△AOF-S_△COD=CO|x_E|-AO|y_E|-CO．DO
=-m²+m+
即S=-（m-）²+（0＜m＜5）5分
∴当m=时，Smax=
此时m²-4m-5=-
E（）   6分

（3）（I）存在P₁（），P₂（），P₃（），P₄（）
（II）理由：假设存在P（m，m²-4m-5）
由题意得，tan∠PBA=或tan∠PAB=
①当tan∠PBA=，且P在第一象限时（如图2）
过P点作PH⊥x轴于H
∵tan∠PBA=
∴BH=2PH，
又P（m，m²-4m-5）（m＞0，m²-4m-5＞0）
B（-1，0）
∴BH=m+1，PH=m²-4m-5
∴m+1=2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍）  m₂=
此时m²-4m-5=
∴P₁（）7分
②当tan∠PBA=，且P在第一象限时（如图2）
与①同理BH=2PH，BH=m+1，PH=-（m²-4m-5）
∴m+1=-2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍） m₂=
此时m²-4m-5=
∴p₂（）8分
③当tan∠PBA=，且P在第二象限时（如图3）
过点P作PK⊥x轴于K
∵tan∠PBA==，
AK=2PK
∴AK=5-m，PK=m²-4m-5
∴5-m=2（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍）  m₂=
此时m²-4m-5=
∴P₃（）9分
④当tan∠PBA=，且P在第三象限时（如图3）
与③同理：AK=2PK，AK=5-m，PK=-（m²-4m-5）
∴5-m=-（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍） m₂=
此时m²-4m-5=
∴p₄（）
故存在P₁（），p₂（），P₃（），p₄（）．10分
点评：本题难度较大．考查的是三角函数的有关知识点，二次函数的灵活运用．