Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD: AB= :2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB²．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

①②③

解析试题分析：由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，就可以求出∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
设AD=x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x
∵E为DC的中点，
∴CE=CD=x，

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，

∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴BF²=PB•EF
∴△ABP∽△ECP
则正确的序号是①②③.
考点：矩形的性质，相似三角形的判定及性质，特殊角的正切值，勾股定理，直角三角形的性质
点评：本题综合性强，难度较大，是中考常见题，学生需熟练掌握平面图形的基本性质.