Question

(本题满分7分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

【小题1】（1）求该抛物线的解析式；
【小题2】（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
【小题3】（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】（1）由题意知，点、、的坐标分别是
、，。
设过、，三点的抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得

得。
∴。
即
【小题2】（2）如图，设点，则当点在轴的正半轴时，三角形的面积有最大值。

即 。
配方，得。
当时，有最大值，。
即当△APE的面积最大时，点P的坐标为（，0）
【小题3】（3） 存在这样的点 ，并且这样的点有两个：和。理由如下：
由（2）知，。如图，设点的横坐标为，则纵坐标为。过点作于。于是

。
即。
化简，得，分解因式，得
。
∴，
分别把，代入，得，。
∴符合题意的点有两个点：和。

解析