Question

如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．

Answer 1

证明：
取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，FH=BD，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵OM=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠3=∠1=∠2，
同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，
∴∠4=∠EFH，
∴EH=HF，
∵EH=AC，FH=BD，
∴AC=BD．
分析：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，推出EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，FH=BD，根据平行线性质求出∠3=∠2，∠1=∠4，根据OM=ON推出∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，推出∠4=∠EFH，得出EH=HF即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线的性质等知识点，关键是正确作辅助线后得出EH=HF，题目比较典型，有一定的难度．