Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，以AC直径的⊙O交AB于D，∠B的平分线分别交AC、CD于E、F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BC=6，AD=

11

5

，求BD的长；
（3）求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根据AC是直径可知，∠ADC=∠ACB=90°BE平分∠ABC，∠1=∠2得到∠CEF=∠CFE，所以CE=CF；
（2）设BD的长为x，则x（x+

11

5

）=36，解得：x₁=5或x₂=-

36

5

（舍去）；
（3）根据∠A=∠BCD，可知sinA=sin∠BCD=

BD

BC

=

5

6

．

解答：（1）证明：∵AC是直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
又∠CEF=90°-∠1，∠CFE=∠DFB=90°-∠2，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）解：由题意得，BC切⊙O于C，
设BD的长为x，根据切割线定理得到：BD（BD+AD）=BC²，
则x（x+

11

5

）=36，
解得：x₁=5或x₂=-

36

5

（舍去），
∴BD的长为5．

（3）解：∵∠A=∠BCD，
∴sinA=sin∠BCD=

BD

BC

=

5

6

．

点评：主要考查了切线的性质，圆周角定理和角平分线性质．要掌握这些性质定理才能在综合题中灵活运用．