题目内容

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，连接AH，tan∠AHO=2．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使以点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．
∵点M在y= $\text{[math]}$ （x＞0）上，
∴k=1×4=4；

（2）设P（0，y），
∵A（0，2），H（1，0），M（1，4），
∴当AM为平行四边形的对角线时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得y=6，
∴P（0，6）；
当AH为平行四边形的对角线时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得y=-2，
∴P（0，-2）．
综上所述，P点坐标为（0，6）或（0，-2）．
分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求k的值；
（2）设P（0，y），分AM为平行四边形的对角线或AH为平行四边形的对角线两种情况进行分类讨论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质等知识，难度适中．