Question

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I，PA=nPC．
（1）如图1，若n=1，则=______，=______；
（2）如图2，若∠EPD=60°，试求n和的值；
（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且n=3，其他条件不变，则=______．（只写答案不写过程）

Answer 1

解：（1）①∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△BEF中，∠F=30°，
∴BE=BF，
∵PA=nPC，n=1，
∴2PA=AB，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=BD=AB，
∴BD=BF，
∵BE=BF，
∴=；
②如图1，作PG∥BC，IH∥BC，
∴IH=FI，
易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，
∴在△PDE中，IH是中位线，
∴IH=DE，
∴=1；
故答案为：；1．

（2）如图2，设PC=a，则PA=an；连BP，且过P作PM⊥AB于M；
过P点作PN∥BC交AB于N，
可判断ANP为等边三角形，
所以AP=PN=AN，
∴△PNI≌△DBI（AAS），
∴IB=，
又∵∠PED=90°，
∴∠D=∠BID=30°，
∴BI=BD，即=an，
∴n=，
在△AMP中可得AM=，
∴BM=a+an-an=，
BE=a+an-a=a+an，
又∵DB=PA，
∴DE=a+an+an=2an+a，
又∵∠EPC=∠APF=30°，
而∠CAF=120°，∠F=30°，
∴AF=AP=an，
∴FI=2an+，
∴==1；

（3）∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△BEF中，∠F=30°，
∴BE=BF，
∵PA=nPC，n=3，
∴PA=AB，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=BD=AB，
∴BD=BF，
∵BE=BF，
∴=．
故答案为：
分析：（1）①由题意，在直角△BEF中，∠F=30°，则BE=BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD=AB，BD=BF，即可得出；②如图一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=FI，易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，在△PDE中，IH是中位线，可得IH=DE，即可得出；
（2）连BP，且过P作PM⊥AB于M，过P点作PN∥BC交AB于N，可得ANP为等边三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，可得BI=BD，即=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM=，BM=BE=a+an-an=，BE=a+an-a=a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，则AF=AP=an，FI=2an+，即可求出；
（3）根据（1）的推理原理，即可推出结果．
点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于推出BD=AB，BD=BF；推出相关三角形全等．