Question

如图，直线l：y=

1

3

x+

1

4

经过点M（0，

1

4

），一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0）…，A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数），设x₁=d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是

 

．

Answer 1

分析：先求出A₁、A₂、B₁、B₂…的坐标，若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，求出d的值；同理：若B₂为直角顶点，求出d的值；若B₃为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．

解答：解：直线l：y=

1

3

x+

1

4

，
当x=1时，y=

7

12

，
即：B₁（1，

7

12

），
当x=2时，y=

11

12

，
即：B₂（2，

11

12

），
∵A₁（d，0），A₂（2-d，0），
若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，
即：1-d=

7

12

，
解得：d=

5

12

；
同理：若B₂为直角顶点，则A₂A₃的中点（2，0）到B₂的距离与到A₃和A₂的距离相等，
即：2-（2-d）=

11

12

，
解得：d=

11

12

；
若B₃为直角顶点，求出的d为负数，并且从B₃之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是

5

12

或

11

12

．
故答案为：

5

12

或

11

12

．

点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论．此题综合性强，有一定的难度．