题目内容

已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

（1）证明：∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²＞0
因此方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =6，
又∵x₁+2x₂=14，
解方程组 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$
将x₁=-2代入原方程得：（-2）²-6×（-2）-k²=0，
解得k=±4．
分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，结合x₁+2x₂=14即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系，与x₁+2x₂=14联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题．