Question

23、取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①当α为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer 1

分析：（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，
（3）连接CC′，在△BDO和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠2=∠3+∠4，所以∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠2+∠α+∠1=∠3+∠4+∠α=180°-∠ACD-∠AC′B=180°-45°-30°=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．

解答：解：（1）如图②，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以当α=15°时，AB∥DC；
（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，
（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．
证明：连接CC′，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠2+∠α+∠1=∠3+∠4+∠α
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°=105°，
∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形的内角和定理．