题目内容

如图，已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且HC⊥CE，
（1）求证：点H是GF的中点；
（2）设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，请用含x的代数式表示y．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；

（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∵AD∥BG，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知证得△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，再由同角和等角的余角相等得到∠HCG=∠FGC，∠HCD=∠HFC，故有FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）过点E作EM⊥CD于M，由于y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由于AD∥BG，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 由比例的性质求得用含x的代数式表示 $\text{[math]}$ 的值，代入前式即可．
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．