Question

（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）∠B=30°，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）易证∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根据CE=AF可得四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值．

试题解析：（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，

又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，

∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∴∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，

又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，

∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，

又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，

∵CE=AB，∴AC=AB即可，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，

故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．

考点：1．菱形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．平行四边形的判定．