Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
【小题1】求此抛物线的解析式
【小题2】点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
【小题3】设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【小题1】∵过点M、N（2，－5），，
由题意，得M（，）.
∴ 
解得 
∴此抛物线的解析式为. ……………………………2分
【小题2】设抛物线的对称轴交MN于点G，

若△DMN为直角三角形，则.
∴D₁（，），（，）. …………………………………2分
直线MD₁为，直线为.
将P（x，）分别代入直线MD₁，
的解析式，
得①，②.
解①得，（舍），
∴（1,0）. …………………………………2分
解②得，（舍），
∴（3,－12）. ……………………………1分
【小题3】设存在点Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.
①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则.
即.                                                                   
解得，（舍）.
∴（，3）. ……………………………2分
②若点Q在MN下方，
同理可得（6，）. …………………2分解析:
（1）把M、N两点坐标代入抛物线的解析式中计算出a、b的值即可；
（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，把P点坐标代入到直线MD方程中，从而解出P点的坐标；
（3）先设存在点Q（x，），分二种情况进行讨论，Q在MN上方或下方，利用直角三角形的性质进行求解。