Question

【题目】综合与实践

操作发现：

如图1和图2，已知点为正方形的边和上的一个动点（点，，除外），作射线，作于点，于点，于点．

（1）如图1，当点在上（点，除外）运动时，求证：；

　　　　　　　　

（2）如图2，当点在上（点，除外）运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系；

拓广探索：

（3）在（1）的条件下，找出与相等的线段，并说明理由；

（4）如图3，若点为矩形的边上一点，作射线，作于点，于点，于点．若，，则_______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）．

【解析】

(1)作DH∥BG交CF延长线于点H，得到四边形DGFH为矩形，证得CF+ DG =CH，设法证得，得到AE=CH，即可证得结论；

(2)依照(1)的方法即可得到CF = AE + DG；

(3)根据(1)的方法证得，得到AE=BF，BE=CF，利用(1)的结论可求得EF= DG；

(4)作DH∥BG交CF延长线于点H，得到四边形DGFH为矩形，得到 DG= CH- CF，根据已知条件易证得，可求得，，由，可得到，求得，即可求得结论．

(1)过D作DH∥BG交CF延长线于点H，如图，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四边形DGFH为矩形，

∴DG=HF，

∴CF+ DG= CF+ HF =CH，

∵四边形ABCD为正方形，且AE⊥BG，

∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4，

在和中，

，

∴，

∴AE=CH，

∴AE= CF+ DG；

(2)CF = AE + DG；

依照(1)的方法，如图，即可证明CF = AE + DG；

(3)EF= DG，理由如下，如图：

由(1)得：∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，

∴∠5=∠2，

在和中，

，

∴，

∴AE=BF，BE=CF，

∴EF=BF-BE=AE-CF，

∵AE= CF+ DG，

∴EF= DG；

(4)过D作DH∥BG交CF延长线于点H，如图，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四边形DGFH为矩形，

∴DG=HF，

∴DG= CH- CF，

∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BG，CD=2BE=6，

∴AB=CD=2BE =6，BE =3，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴，

∴，

∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4=∠2=30，

∴，，

∵，

∴，

∵，即，

∴，

∴．