题目内容

如图，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，满足OA：OB=4：3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2．
（1）求⊙C的圆心坐标；
（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式；
（3）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为B，求抛物线的解析式．
（1）∵OA⊥OB，OA：OB=4：3，⊙D的半径为2
∴⊙C过原点，OC=4，AB=8
A点坐标为（
32
5
，0）B点坐标为（0，
24
5
）
∴⊙C的圆心C的坐标为（
16
5
，
12
5
）（3分）

（2）由EF是⊙D的切线，
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴
OE
AB
=
OC
OA
，
OF
AB
=
OC
OB

∴OE=5，OF=
20
3

∴E点坐标为（5，0），F点坐标（0，
20
3
）
∴切线EF的解析式为y=-
4
3
x+
20
3
；（7分）

（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得
抛物线顶点坐标为（
16
5
，
12
5
+4），
可得：-
b
2a
=
16
5
，
4ac-b2
4a
=
32
5
，c=
24
5

∴a=-
5
32
，b=1，c=
24
5
，
∴y=-
5
32
x2+x+
24
5
；（10分）
②当抛物线开口向上时，
顶点坐标为（
16
5
，
12
5
-4），
可得：-
b
2a
=
16
5
，
4ac-b2
4a
=-
8
5
，c=
24
5
，
∴y=
5
8
x2-4x+
24
5
；
综上所述，抛物线解析式为：
y=-
5
32
x2+x+
24
5
或y=
5
8
x2-4x+
24
5
．（12分）
注：其他解法参照以上评分标准评分
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过（1，
21
4
），（2，
11
2
）两点，与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象；
（2）求线段AB的中垂线的函数解析式．
如图，已知直线y=x与抛物线y=
1
2
x2交于A、B两点．
（1）求交点A、B的坐标；
（2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数y=
1
2
x2的函数值为y2．若y1＞y2，求x的取值范围；
（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
如图，抛物线：y=
1
2
x2+bx+c与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，-2），
（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标．
（2）求过A、B、C三点的圆的半径．
（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．
在平面直角坐标系中，现将一块腰长为
5
的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，-2），直角顶点C在x轴的负半轴上（如图所示），抛物线y=ax2+ax+2经过点B．
（1）点C的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
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作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______．

（2）实践运用
如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．

（3）拓展迁移
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①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
如图，抛物线y=
1
2
x2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围；
（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为直线AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．当-1≤x≤1.5时，求线段PQ的最大值．
某校课外活动小组准备利用学校的一面墙，用长为30米的篱笆围成一个矩形生物苗圃园．
（1）若墙长为18米（如图所示），当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积等于88平方米？
（2）当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．

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