题目内容

已知，如图∠EBC与∠FCB的角平分线交于O点，过O作EF∥BC交AB延长线E点，交AC延长线于F点，∠ABC：∠ACB=3：2， $数学公式$ ，求∠OBC的度数．

解：∵∠ABC：∠ACB=3：2，
∴设∠ABC=3x°，∠ACB=2x°，
∵EF∥BC，
∴∠BCF+∠F=180°，∠ABC=∠E，∠ACB=∠F，∠EBC+∠E=180°，
∴∠E=3x°，∠F=2x°，
∴∠BCF=180°-2x°，∠EBC=180°-3x°，
∵∠EBC与∠FCB的角平分线交于O点，
∴∠OBC= $\text{[math]}$ （180°-3x°），∠BCO= $\text{[math]}$ （180°-2x°），
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°- $\text{[math]}$ （180°-3x°）- $\text{[math]}$ （180°-2x°），
∵∠BOC= $\text{[math]}$ ∠F+40°= $\text{[math]}$ ×2x°+40°= $\text{[math]}$ x°+40°，
∴180°- $\text{[math]}$ （180°-3x°）- $\text{[math]}$ （180°-2x°）= $\text{[math]}$ x°+40°，
解得：x=20，
∴∠OBC= $\text{[math]}$ （180°-3x°）=60°．
分析：由∠ABC：∠ACB=3：2，可设∠ABC=3x°，∠ACB=2x°，又由EF∥BC，根据平行线的性质，即可求得∠EBC与∠FCB的表达式，又由∠EBC与∠FCB的角平分线交于O点，继而求得∠BOC的表达式，又由∠BOC= $\text{[math]}$ ∠F+40°，即可列方程求解．
点评：此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．