Question

如图，某城市有一条公路，从正西方向AO经过市中心，后转向北偏东30°方向OB．现要修建一条高速公路L，新建高速公路在OA上设一出入口A，在OB上设一出入口B，高速公路在AB段为直线段．
（1）若OA=OB=20km，求两出入口之间的距离；
（2）若OB=2OA，市中心O到高速公路L的距离为10km，求两出入口之间的距离；
（3）请你设计一种方案：确定两出入口的位置（两出入口到市中心O的距离不相等），使市中心到高速公路的距离扩大到12km．（不要求写出计算过程）

Answer 1

【答案】分析：（1）作OC⊥AB于C，在直角△AOC中根据三角函数求出AC，根据三线合一定理得到AB=2AC；
（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延长线于D，易证△AOC∽△ABD，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出．
（3）答案不唯一：只要能够说出一组符合要求的OA和OB的长度即可．
解答：解：（1）作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠BCO=90°．
∵OA=OB=20km∠AOB=120°，
∴∠CAO=∠CBO=30°．
∴OC=OA=10km．
∴AC=BC=OC=10km．
∴AB=20km．
答：两出入口之间的距离是20km．

（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∴∠ACO=∠BCO=∠BDO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=90°-60°=30°
设OD=x则BD=x，
∵OB=2OA，
∴OA=x则AD=AO+DO=2x  AB==x．
∵∠A=∠A，
∴△AOC∽△ABD．
∴=即=解得x=．
∴AB=x=．

（3）答案不唯一：只要能够说出一组符合要求的OA和OB的长度即可，如取OA=15 km时，OB=km，
（OA和OB的值大于12 km，且OA≠OB，先给出OA的值，然后求OB的值）不要求写出计算过程．
点评：本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．