Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.

（1）证明:DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.

Answer 1

分析:（1）根据∠BCD=90°+60°=150°,因此只要证明∠EDC=30°即可.根据已知条件及图形的位置关系，连接CE,通过证明△ADE≌△CDE，得到∠EDC=30°，所以∠EDC+∠DCB=180°，从而证得DE∥CB.

（2）此题可通过假设四边形DCBE是平行四边形，求出AC与AB的数量关系.

（1）证明:如图所示，连接CE,

∵ E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴ CE=AB=AE.

∵ △ACD是等边三角形，∴ AD=CD.

在△ADE和△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,

∴ △ADE≌△CDE(SSS).∴ ∠ADE=∠CDE=30°.

∵ ∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°,

∴ ∠EDC+∠DCB=180°,∴ DE∥CB.

(2)解:∵ ∠DCB=150°,

若四边形DCBE是平行四边形，

则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°,∴ ∠B=30°.

在Rt△ACB中，AC= AB或AB=2AC.

∴ 当AC=AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形.

点拨:(1)利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半进行转化,说明线段相等是证明两个三角形全等的关键；(2)对于条件探索性问题常通过逆向思维的方式得到解决.