题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴、y轴的公共点分别为A（5、0）、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图象上，且∠DAC=45°，求点D的坐标．

解：（1）将点A（5，0）代入，可得：0=- $\text{[math]}$ ×5²+5b+5，
解得：b= $\text{[math]}$ ，
故二次函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+5．

（2）连接BC，

，
∵抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+5，
∴点B的坐标为（0，5），
∵点C的横坐标为3，
∴点C的纵坐标为6，即可得点C的坐标为（3，6），
则BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AB=5 $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠BAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）∵OA=OB=5，∠BOA=90°，
∴∠BAO=45°，
又∵∠DAC=45°，
∴∠DAO=∠BAC，

设点D的坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+5），
则tan∠DAO=tan∠BAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=5（舍去），
故点D的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将点A的坐标代入可得出b的值，继而得出二次函数解析式；
（2）连接BC，利用勾股定理逆定理可得出△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中可求出tan∠BAC的值．
（3）根据OA=OB，可得∠BAO=45°，结合∠DAC=45°，可得∠DAO=∠BAC，设出点D的坐标，根据tan∠DAO的值可得出答案．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理的逆定理及三角函数的知识，解答本题的关键之处在于判断才△ABC是直角三角形，对于此类综合型题目，不要慌，一问一问的思考，将所学知识综合起来．