Question

如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点。

（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论。

Answer 1

解：（1）添加AB=BD
∵AB=BD
∴
∴∠BDE =∠BCD
又∵∠DBE =∠DBC
∴△BDE∽△BCD
∴。
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是的中点
∵AB∥DO
∴∠ADO =∠BAD
∵∠ADO =∠OAD
∴∠OAD =∠BAD
∴。
（3）在（1）和（2）的条件下
∵
∴∠BDA =∠DAC
∴ BD∥OA
又∵AB∥DO
∴四边形AODB是平行四边形
∵OA=OD
∴平行四边形AODB是菱形。