题目内容
如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为 |
| BC |
（1）问添加一个什么条件后，能使得
| BD |
| BC |
| BE |
| BD |
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．
分析：（1）要使
=
成立，则应有△BDE∽△BCD，因此必须满足∠BDE=∠DCB，则弧BD=弧AB，故需添加BD=AB；
（2）若AB∥OD，则应有∠ADO=∠BAD；由等边对等角知，∠ADO=∠OAD，则应有
=
；
（3）在（1）和（2）的条件下，点B、D是半圆的三等分点，可证得四边形AODB是平行四边形；由于OA=OD，因此平行四边形AODB是菱形．
| BD |
| BC |
| BE |
| BD |
（2）若AB∥OD，则应有∠ADO=∠BAD；由等边对等角知，∠ADO=∠OAD，则应有
|
| DB |
|
| DC |
（3）在（1）和（2）的条件下，点B、D是半圆的三等分点，可证得四边形AODB是平行四边形；由于OA=OD，因此平行四边形AODB是菱形．
解答：解：（1）添加AB=BD．
理由：∵AB=BD，∴
=
，
∴∠BDE=∠BCD，
又∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴
=
．
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是
的中点．
理由：∵AB∥DO，
∴∠ADO=∠BAD，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD=∠BAD，
∴
=
．
（3）在（1）和（2）的条件下，
=
=
，
∴∠BDA=∠DAC．
∴BD∥OA．
又∵AB∥DO，∴四边形AODB是平行四边形．
∵OA=OD，∴平行四边形AODB是菱形．
理由：∵AB=BD，∴
|
| AB |
|
| BD |
∴∠BDE=∠BCD，
又∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴
| BD |
| BC |
| BE |
| BD |
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是
|
| BC |
理由：∵AB∥DO，
∴∠ADO=∠BAD，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD=∠BAD，
∴
|
| DB |
|
| DC |
（3）在（1）和（2）的条件下，
|
| AB |
|
| BD |
|
| DC |
∴∠BDA=∠DAC．
∴BD∥OA．
又∵AB∥DO，∴四边形AODB是平行四边形．
∵OA=OD，∴平行四边形AODB是菱形．
点评：本题考查了在圆周角定理、平行线的判定和性质、平行四边形和菱形的判定等知识，综合性较强．
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上的一动点．
？请说明理由；
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