Question

【题目】如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，DF=CD．
（1）求证：四边形ACEF为菱形．
（2）如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG= ，则AD= （直接填空）、

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE=AD，DF=CD．

∴四边形ACEF是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴AE⊥CF，

∴四边形ACEF是菱形；

（2）2
【解析】（2）解：∵四边形ACEF是菱形， ∴AC=CE，AD=ED，
∵EG⊥AC，cos∠ECG= = ，
∴CG= CE= AC，
∵AG=AC+CG=8，
∴CG=3，CE=AC=5，
∴EG= =4，
在Rt△AEG中，AE= = =4 ，
∴AD= AE=2 ；
故答案为：2 ．
（1）先证明四边形ACEF是平行四边形，再由矩形的性质证出AE⊥CF，即可得出四边形ACEF是菱形；（2）由菱形的性质得出AC=CE，AD=ED，与三角函数得出CG= CE= AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG= =4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE= =4 ，即可得出AD的长．