Question

将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当m=3时，点B的坐标为______，点E的坐标为______；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为-1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．
解答：解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）；

（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得，
则有，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即
解得…（7分）

（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得
∴，
在Rt△AEF中，，EF=5，AE=m
∵AF²+EF²=AE²
∴
解得，
∴，，E（，-1）
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴
即，
解得FG=2，
∴EG=EF-FG=3
∴点G的纵坐标为2，
∵
∴此抛物线的顶点必在直线上，
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上，
∴-1＜10-20a＜2，
解得
故a的取值范围为．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．