Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.

（1）试求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，过点P作PF⊥BC于点F，试问△PFD的周长是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
（3）当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q,试问,四 边形CDPQ能否成为菱形?如果能,请求此时点P的坐标；如果不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由OC=3OA， 有：C（0，3），

将 A（-1，0）、B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

得 解之得： ，

故y= 即为所求.

（2）

解：设P（m， ），△PFD的周长为L，

∵直线BC经过B（4,0），C（0,3），易得直线BC的解析式为：yBC= ,

则D（m， ），PD= ，

∵PE⊥x轴，PE//OC，

∴∠BDE=∠BCO，

又∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

而∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD~△BOC.

，

由（1）知，OC=3，OB=4，则BC=5，

故△BOC的周长为12，

∴ 即：L= （m-2）2+ ，

∴当m=2时，L最大= .

（3）

解：存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形.

当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

∵由轴对称的性质知，CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

当点Q落在y 轴上时，CQ∥PD，∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四边形CDPQ是菱形，

如图1，过点D作DG⊥y轴于点G，

设P（n， ），则D（n， ），G（0， ），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2= = ，

而PD= ，

∵ PD=CD，

∴ ①

或 ②

解方程①得：n= 或n=0（不符合题意，舍去），

解方程②得：n= 或n=0（不符合题意，舍去）.

当n= 时，P（ ， ），

当n= 时，P（ ， ）.

综上所述，存在这样的P点，使得四边形CDPQ为菱形，此时点P的坐标为P（ ， ）或（ ， ）.

【解析】（1）由OC=3OA，求出点C坐标，再运用待定系数法求；（2）易证得△PFD~△BOC，由相似三角形的周长比等于相似比，求出△PFD的周长与点P横坐标的关系，再求最值；（3）由PD//y轴，且CP为四边形CDPQ的对角线，则Q在y轴上时，四边形CDPQ为菱形，根据PD=CD，列方程解出答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．