Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b=-2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a=1，则OA•OB=OC²．
以上说法正确的有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③

Answer 1

C
分析：①二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．
②根据图象的特点及与直线MN比较，可知当-1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方．
③同②理．
④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证．
解答：①∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴，
解得b=-2．
故该选项正确．
②方法一：∵二次函数y=ax²+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴直线MN的解析式为y-2=，
即y=-2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当-1＜x＜1时，二次函数图象在y=-2x的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a=1时，c=-1，∴该抛物线的解析式为y=x²-2x-1
当y=0时，0=x²-2x+c，利用根与系数的关系可得 x₁•x₂=c，
即OA•OB=|c|，
当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC²，
∴若a=1，则OA•OB=OC²，
故该选项正确．
总上所述①②④正确．
故选C．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定．