Question

如图，△ABC和△A₁B₁C₁均为等边三角形，点O既是AC的中点，又是A₁C₁的中点，则AA₁：BB₁=________．

Answer 1

分析：连接OB，OB₁，根据等边三角形的性质求出OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，推出∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，求出AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，由勾股定理求出OB=AO，OB₁=A₁O，得出==，证△AOA₁∽△BOB₁，得出比例式，即可得出答案．
解答：连接OB，OB₁，
∵△ABC和△A₁B₁C₁均为等边三角形，点O既是AC的中点，又是A₁C₁的中点，
∴OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，
∴∠BOC=∠B₁OC₁=90°，
∵∠COB₁=∠COB₁，
∴∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，
由勾股定理得：OB=AO，OB₁=A₁O，
即==，
∵∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
∴△AOA₁∽△BOB₁，
即AA₁：BB₁=．
故答案为：．
点评：本题考查了等边三角形性质和相似三角形的性质和判定的应用，注意：有两边成比例，且夹角相等的两三角形相似，等腰三角形具有三线合一的性质，题目比较典型，但有一点难度．