Question

【题目】中，，，．长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）．过，分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为．

若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？

Answer 1

【答案】或；时，四边形为矩形；（3）当或时，以，，为顶点的三角形与相似．

【解析】

（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=AMPM得出y与t的函数关系式．

（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值；
（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值.

当点在上时，∵，∴．

∴．

当点在上时，．

．

∵，∴．∴．

∴．

由条件知，若四边形为矩形，需，即，

∴．∴当时，四边形为矩形．

由知，当时，四边形为矩形，此时，

∴．

除此之外，当时，，此时．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴，．

∴当或时，以，，为顶点的三角形与相似．