Question

如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．
试求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
又∵AB=CB=，
∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，
∵CD=，DA=1，
∴CD²=5，DA²=1，AC²=4．
∴AC²+DA²=CD²，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；

（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，
∴S_△ABC=，S_△DAC=，
∵AB=CB=，DA=1，AC=2，
∴S_△ABC=1，S_△DAC=1
而S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△DAC，
∴S_{四边形ABCD}=2．
分析：连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，
（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；
（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．