题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+8与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C在x轴的负半轴上，∠CBA=∠CAB．（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从B点出发，沿线段BC向C点运动，点Q从A点出发，沿x轴正方向运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，当点P到达C点时，两点停止运动，连结PQ，交直线AB于点D，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，设运动的时间为t秒，求在运动过程中线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，作△PED的外接圆⊙G，求t为何值时，它与△ABC的一边相切．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据等腰三角形的判定，可得AC与BC的关系，根据解方程，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的判定，可得AB与BC的关系，根据线段的和差，可得AF=PB=t=AQ，根据相似三角形的性质，可得
=
，再根据相似三角形的判定与性质，可得
=
，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据切割线的性质，可得PB2=BE•BD，根据解方程，可得答案．
（2）根据等腰三角形的判定，可得AB与BC的关系，根据线段的和差，可得AF=PB=t=AQ，根据相似三角形的性质，可得
| PF |
| AB |
| PC |
| BC |
| PB |
| AB |
| BE |
| AO |
（3）根据切割线的性质，可得PB2=BE•BD，根据解方程，可得答案．
解答：解：（1）A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，8），AB=
=4
，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，设OC=m，
∴BC=
，AC=m+4，
∴
=m+4，解得m=6，
∴C点坐标为（-6，0）
∴BC的解析式为y=
x+8；
（2）过P作PF∥AB交x轴于F
，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，
∴AF=PB=t=AQ，
∴AD为△PQF中位线，
∵PB=AQ=t，
∴PC=BC-PB=10-t，
∵
=
即
=
∴
PF=
∴AD=
，Rt△PBE∽Rt△BAO，
∴
=
BE=
=
=
t
∴DE=AB-BE-AD=4
-
t-
=2
；
（3）当⊙G与BC相切时，PB2=BE•BD，即t2=
×（
+2
）解得t1=
，t2=0（不符题意舍去）．
| 42+82 |
| 5 |
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，设OC=m，
∴BC=
| m2+64 |
∴
| m2+64 |
∴C点坐标为（-6，0）
∴BC的解析式为y=
| 4 |
| 3 |
（2）过P作PF∥AB交x轴于F
，∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，
∴AF=PB=t=AQ，
∴AD为△PQF中位线，
∵PB=AQ=t，
∴PC=BC-PB=10-t，
∵
| PF |
| AB |
| PC |
| BC |
| PF | ||
4
|
| 10-t |
| 10 |
PF=
2
| ||
| 5 |
∴AD=
| ||
| 5 |
∴
| PB |
| AB |
| BE |
| AO |
BE=
| PB×AO |
| AB |
| 4t | ||
4
|
| ||
| 5 |
∴DE=AB-BE-AD=4
| 5 |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| 5 |
（3）当⊙G与BC相切时，PB2=BE•BD，即t2=
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了勾股定理，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，切割线定理．
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