Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）此题有两种解法：①由于PE∥CD，易证得△APE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PE的长，②根据∠A的正切值求解．
（2）当Q在线段CD上运动时，0＜x＜2.4，若四边形PEDQ是平行四边形，则PE=DQ₁，可用x表示出DQ₁的长，联立PE的表达式列方程求出x的值．
（3）当Q在线段BD上运动时，四边形EPDQ是梯形，DQ、CP的长易求得，即可根据梯形的面积公式求得关于四边形EPDQ的面积与x的函数关系式，根据函数的性质即可得到四边形EPDQ的最大面积．
解答：解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴=，
∴=，（3分）
∴．（4分）

（2）由四边形PEDQ₁是平行四边形，可得EP=DQ₁．（5分）
即x=3-x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）

（3）S_{四边形EPDQ2}=（x+x-3）•（4-x）（9分）
=-x²+x-6=-（x-）²+，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴当x=时，S取得最大值，最大值为．（13分）
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、梯形的面积以及二次函数最值的应用；在求图形面积的最大或最小值时，通常转化为二次函数的最值问题进行求解．